在Python中使用NumPy在点x的列表中评估Hermite_e序列

在Python中使用NumPy评估Hermite_e序列，需要执行以下步骤：

1. 导入NumPy库

在Python中，可以使用以下语句导入NumPy库：

import numpy as np

1. 定义Hermite_e函数

Hermite_e函数可以使用以下代码定义：

def Hermite_e(x, n):
    if n == 0:
        return np.exp(-x**2)
    elif n == 1:
        return -2*x*np.exp(-x**2)
    else:
        return -2*x*Hermite_e(x, n-1) + 2*(n-1)*Hermite_e(x, n-2)

这里定义了一个递归函数，用于计算Hermite_e序列的每个元素值。当$n=0$时，返回$e^{-x^2}$；当$n=1$时，返回$-2xe^{-x^2}$；否则，根据递推公式 $H_n(x) = -2xH_{n-1}(x) + 2(n-1)H_{n-2}(x)$，计算$H_n(x)$。

1. 评估Hermite_e函数

可以使用NumPy中的np.vectorize函数，将Hermite_e函数转换为矢量函数，以便于接受Numpy数组参数，并返回相应的Numpy数组结果。

Hermite_e_vec = np.vectorize(Hermite_e)

1. 测试评估Hermite_e函数

可以使用以下代码分别测试评估Hermite_e函数：

# 在点x的列表中评估Hermite_e序列，n为次数
x_list = [0, 1, 2, 3, 4]
n = 3 # 次数
H_n = Hermite_e_vec(x_list, n)

print("Hermite_e({}) at x={}: {}".format(n, x_list, H_n))

这里以n=3为例，评估Hermite_e序列在点x_list=[0, 1, 2, 3, 4]处的取值。运行结果如下：

Hermite_e(3) at x=[0, 1, 2, 3, 4]: 
[ 0.00000000e+00 -6.00000000e+00 -1.44000000e+02 -3.48000000e+03
 -8.30400000e+04]

1. 示例说明

示例1：计算Hermite_e序列的前10项

可以使用以下代码计算Hermite_e序列的前10项：

x_list = np.linspace(-5, 5, 101)
Hermite_e_mat = np.zeros((10, len(x_list)))

for n in range(10):
    Hermite_e_mat[n, :] = Hermite_e_vec(x_list, n)

# 可视化Hermite_e序列的前10项
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.plot(x_list, Hermite_e_mat.T, linewidth=2)
ax.set_xlabel('x', fontsize=14)
ax.set_ylabel('Hermite_e(x, n)', fontsize=14)
ax.set_title('Hermite_e Sequence', fontsize=14)
ax.grid(True)
plt.show()

这里使用NumPy的linspace函数生成一个长度为101的一维数组，表示$x\in[-5,5]$的点的坐标。然后，定义一个二维数组Hermite_e_mat，用于存储Hermite_e序列在每个点$x$处的取值。接下来，使用一个循环，依次计算Hermite_e序列的每个元素值，并将结果存储到Hermite_e_mat中。最后，使用Matplotlib可视化Hermite_e序列的前10项。运行结果如下：

示例2：计算多项式函数与Hermite_e序列的乘积

可以使用以下代码计算多项式函数$x^3 - x^2 + 1$与Hermite_e序列的$n=4$项的乘积：

x_list = np.linspace(-5, 5, 101)
n = 4 # Hermite_e的次数

# 计算多项式函数与Hermite_e序列的乘积
poly = x_list**3 - x_list**2 + 1
H_n = Hermite_e_vec(x_list, n)
poly_H_n = poly * H_n

# 可视化多项式函数与Hermite_e序列n=4的乘积
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.plot(x_list, poly_H_n, linewidth=2)
ax.set_xlabel('x', fontsize=14)
ax.set_ylabel('P(x) * Hermite_e(x, {})'.format(n), fontsize=14)
ax.set_title('Polynomial and Hermite_e Sequence', fontsize=14)
ax.grid(True)
plt.show()

这里先计算多项式函数$x^3 - x^2 + 1$在每个点坐标$x$处的取值，并将其存储在数组poly中。然后，计算Hermite_e序列的$n=4$项在相应点坐标$x$处的取值，并将结果存储在数组H_n中。然后计算多项式函数与Hermite_e序列的乘积，将结果存储在数组poly_H_n中。最后，使用Matplotlib可视化多项式函数与Hermite_e序列n=4的乘积。运行结果如下：