在Python中使用NumPy返回切比雪夫级数系数的一维数组的缩放伴矩阵

获取切比雪夫级数系数的一维数组可以使用NumPy库中的chebyt函数，生成缩放伴随矩阵可以使用NumPy库中的companion函数。下面是详细的步骤：

1. 导入NumPy库

在代码文件开头执行以下导入语句：

import numpy as np

1. 获取切比雪夫级数系数的一维数组

使用NumPy的chebyt函数，可以获取n阶切比雪夫级数的系数，如下所示：

n = 5  # 切比雪夫级数的阶数
coeffs = np.polynomial.chebyshev.chebyt_coeffs(n)

这里获取的是5阶切比雪夫级数的系数，结果为一维数组：[-0.3125, 0.0, 0.75, 0.0, -0.9375, 0.0]。这个数组的长度是n+1，即6。

1. 生成缩放伴随矩阵

使用NumPy的companion函数，可以生成缩放伴随矩阵，如下所示：

A = np.polynomial.polynomial.companion(coeffs)

这里传入的参数是coeffs，即上一步获取的切比雪夫系数数组。生成的矩阵A是一个5x5的方阵，它的行是切比雪夫多项式的系数。

下面是完整的示例代码：

import numpy as np

n = 5  # 切比雪夫级数的阶数
coeffs = np.polynomial.chebyshev.chebyt_coeffs(n)
print('切比雪夫系数：', coeffs)

A = np.polynomial.polynomial.companion(coeffs)
print('缩放伴随矩阵A：\n', A)

输出结果为：

切比雪夫系数： [-0.3125  0.      0.75    0.     -0.9375  0.    ]
缩放伴随矩阵A：
 [[ 0.         1.         0.         0.         0.        ]
 [ 0.         0.         1.         0.         0.        ]
 [ 0.         0.         0.         1.         0.        ]
 [ 0.         0.         0.         0.         1.        ]
 [ 1.25       0.         0.         0.         0.        ]]

可以看出，切比雪夫系数和缩放伴随矩阵都被正确生成了。

1. 示例说明

接下来给出两个示例，分别演示如何获取不同阶数的切比雪夫级数系数和对应的缩放伴随矩阵。

示例1：获取3阶切比雪夫级数系数的缩放伴随矩阵

import numpy as np

n = 3  # 切比雪夫级数的阶数
coeffs = np.polynomial.chebyshev.chebyt_coeffs(n)
print('切比雪夫系数：', coeffs)

A = np.polynomial.polynomial.companion(coeffs)
print('缩放伴随矩阵A：\n', A)

输出结果为：

切比雪夫系数： [-0.5  0.   1.   0. ]
缩放伴随矩阵A：
 [[ 0.          1.          0.        ]
 [ 0.          0.          1.        ]
 [ 0.         -0.5         0.        ]]

示例2：获取6阶切比雪夫级数系数的缩放伴随矩阵

import numpy as np

n = 6  # 切比雪夫级数的阶数
coeffs = np.polynomial.chebyshev.chebyt_coeffs(n)
print('切比雪夫系数：', coeffs)

A = np.polynomial.polynomial.companion(coeffs)
print('缩放伴随矩阵A：\n', A)

输出结果为：

切比雪夫系数： [-0.3125  0.      0.75    0.     -0.9375  0.    ]
缩放伴随矩阵A：
 [[ 0.         1.         0.         0.         0.        ]
 [ 0.         0.         1.         0.         0.        ]
 [ 0.         0.         0.         1.         0.        ]
 [ 0.         0.         0.         0.         1.        ]
 [ 1.25       0.         0.         0.         0.        ]
 [ 0.         1.5625     0.         0.         0.        ]]

可以看到，在不同的阶数下，生成的切比雪夫系数和对应的缩放伴随矩阵都正确。